Действие над векторами и их свойства

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Конспекты по геометрии
as , , ,

Определение. Вектор — это направленный отрезок.

Определение. Суммой векторов − a(a1 ;a2 ) и − b(b1;b2) называется вектор −ca1+b1;a2+b2 , т.е. −aa1;a2 +−bb1;b2=−ca1+b1;a2+b2 .

Для любых векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) справедливы равенства:

  • переместительный закон: −a+−b=−b+−a;
  • сочетательный закон: −a+(−b+−c)=(−a+−b)+−c;
  • из переместительного и сочетательного законов следует, что, складывая любое число векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые.

Свойство. Каковы бы ни были три точки A , B и C , имеет место векторное равенство −−AB+−−BC=−−AC

Правило треугольника: Свойство дает следующий способ построения суммы произвольных векторов −a и −b. Надо от конца вектора −a отложить вектор равный вектору −b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора −a, а конец — с концом вектора −b, будет суммой векторов −a и −b.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Определение. Разностью векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) называют такой вектор −c(c1c2), который в сумме с вектором −b(b1;b2) дает вектор −a(a1;a2). Таким образом: −c(c1c2) + −b(b1;b2) = −a(a1;a2), откуда c1 = a1 — b1 и c2 = a2 — b2.

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими из одной точки; дополнить чертеж отрезком так. чтобы получился треугольник; придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором разности.

Определение. Произведением вектора −a(a1;a2) на число называется вектор −b(b1;b2), токой что b1 = a1 и b2 = a2. т.е. −a(a1;a2)=−b(a1;a2).

Для любых векторов −a(a1;a2), −b(b1;b2) и чисел ,  $$\mu$$ справедливы два распределительных закона:

  • (+)−a=−a+−a
  • (−a+−b)=−a+−b

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: S=−a−b=−a−bcos, если угол между векторами равен $$\phi$$.

  • Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно 0: S=−a−b=0
  • Если векторы −a и −b равны, то S=(−a)2 и  говорят о скалярном квадрате вектора.В этом случае cos=1, т.е. S=−a2. Итак, скалярный квадрат вектора совпадает и квадратом его длины: (−a)2 =−a2 .
  • Если векторы −a и −b перпендикулярны, то S=−a−b=0. Векторы −a и −b перпендикулярны в том и только в т ом случае, когда их скалярное произведение равно нулю.

Для любых векторов −a, −b, −c и числа справедливы равенства:

  • (−a−b)=(−a−b)
  • −a(−b+−c)=−a−b +−a−c.

Аналогично рассматриваются вектора и в пространстве.