Биссектриса

Определение. Биссектриса угла — это  луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.

Биссектриса угла (вместе с ее продолжением) есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (или их продолжений).

Определение. Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

• Любая из трех биссектрисс внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
• Биссектриса угла треугольника может обозначать одно из двух: луч — биссектриса этого угла или отрезок биссектрисы этого угла до ее пересечения со стороной треугольника.

Свойства биссектрис

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
• Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
• Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD =ACBC .
  
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

Формулы

a2a1=cb la=c+bcb(b+c+a)(b+c−a) la=c+b2bc cos2 la=hacos2− la=bc−a1a2

Где:
la — биссектриса, проведенная к стороне a,
a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,
a_l,a ₂ — отрезки, на которые биссектриса l_c делит сторону c,
— внутренние углы треугольника при вершинах a, b, c соответственно,
h_a —  высота треугольника, опущенная на сторону a.