Треугольник

Posted by admin on 23 Июль 2010 | Subscribe
in Конспекты по геометрии
as , , ,

mediana treyg
Неравенство треугольника. Стороны треугольника нельзя задавать произвольно, они связаны следующими неравенствами

  • a < b + c
  • b < c + a
  • c < a + b
 Признаки равенства треугольников. Треугольник однозначно  можно определить по следующим тройкам основных элементов:

  • a, b, c (равенство по трём сторонам);
  • a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  • a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам).

Отрезки и окружности, связанные с треугольником

  • Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
  • Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью..
  • Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидром или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
  • Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение, называется высотой треугольника. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
  • Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.
    nebpicanna
    • В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
    • Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведенная из нее, лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
    • Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
    • Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон.
    • Середины трех сторон треугольника, основания трех его высот и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.
    • В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Соотношения в треугольнике

Теорема синусов
 Теорема косинусов
 Теорема о сумме углов треугольника
asin =bsin =csin=2R
 c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ
 α + β + γ = 180° =

Прочие соотношения (Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника ABC):

ba=blal mc=212(a2+b2)−c2
hc=bsin=asin=c2S
 d2=R2−2Rr
lc=a+bab(a+b+c)(a+b−c)=ab−albl=a+b2abcos2
rR=4sin2sin2sin2=cos+cos+cos−1

Площадь треугольника

S=21bhb
 S=21basin
 S=2Rabc
 S=r2+2rR, для прямоугольного треугольника
S=21r(a+b+c)=pr=(p−b)rb
 S=2R2sinsinsin
 S=2sina2sinsin
S=p(p−a)(p−b)(p−c)=41(a+b+c)(a+c−b)(b+c−a)(a+b−c)
S=21(xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)) , в данной формуле следует обратить внимание на обход вершин, если идти по часовой стрелке, то получится та же площадь, но с отрицательным знаком

Где:

  1. lalblc — соответственно биссектрисы углов A, B и C,
  2. albl — отрезки, на которые биссектриса lc делит сторону с,
  3. mambmc — медианы, проведенные соответственно к сторонам a, b и c,
  4. hahbhc — высоты, опущенные соответственно на стороны a, b и c,
  5. r — радиус вписанной окружности,
  6. R — радиус описанной окружности,
  7. rb — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b,
  8. p=2a+b+c — полупериметр,
  9. S — площадь,
  10. d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
  11. (xA;yA)(xB;yB)(xC;yC) — координаты вершин треугольника.